2017届高考理科数学二轮复习训练：2-3-1 函数与方程思想（参考解析）

一、选择题

1．已知函数f(x)＝，x>0(4)，若函数g(x)＝f(x)＋x－m不存在零点，则实数m的取值范围是(  )

A．(2,6)   B．(4,6)

C．(2,4)   D．(－∞，2)∪(4，＋∞)

答案 C

解析 当x≤0时，f(x)＝2，由题意得方程2＋x－m＝0无解，则m>(x＋2)_max，而此时(x＋2)_max＝2，所以m>2；当x>0时，f(x)＝x(4)，由题意得方程x(4)＋x－m＝0无解，则m<x(4)_min，而此时x(4)_min＝4，所以m<4.综上可知实数m的取值范围是(2,4)，故选C.

2．[2015·贵州八校联考]已知数列{a_n}是等差数列，若a₂＋2，a₄＋4，a₆＋6构成等比数列，则数列{a_n}的公差d等于(  )

A．1   B．－1

C．2   D．－2

答案 B

解析 由a₂＋2，a₄＋4，a₆＋6成等比数列，则(a₄＋4)²＝(a₂＋2)(a₆＋6)，化简得d²＋2d＋1＝0，d＝－1，故选B.

3．[2015·辽宁五校联盟联考]已知函数f(x)是定义在R上的单调递增函数，且满足对任意的实数x都有f[f(x)－3^x]＝4，则f(x)＋f(－x)的最小值等于(  )

A．2   B．4

C．8   D．12

答案 B

解析 由f(x)的单调性知存在唯一实数K使f(K)＝4，即f(x)＝3^x＋K，令x＝K得：f(K)＝3^K＋K＝4.又f(K)单调递增，所以K＝1，从而f(x)＝3^x＋1，即f(x)＋f(－x)＝3^x＋3x(1)＋2≥23x(1)＋2＝4，当且仅当x＝0时取等号．故选B.

4．[2015·九江一模]已知抛物线的方程为y²＝2px(p>0)，过抛物线上一点M(p，p)和抛物线的焦点F作直线l交抛物线于另一点N，则|NF|∶|FM|＝(  )

A．1∶   B．1∶

C．1∶2   D．1∶3

答案 C

解析 由题意知直线l的方程为y＝22(p)，联立方程2(p)，得N2()，∴|NF|＝4(p)＋2(p)＝4(3)p，|MF|＝p＋2(p)＝2(3)p，∴|NF|∶|FM|＝1∶2，故选C.

5．若2^x＋5^y≤2^－y＋5^－x，则有(  )

A．x＋y≥0   B．x＋y≤0

C．x－y≤0   D．x－y≥0

答案 B

解析 原不等式可变形为2^x－5^－x≤2^－y－5^y.

即2^x－5(1)^x≤2^－y－5(1)^－y.

故设函数f(x)＝2^x－5(1)^x，f(x)为增函数，

又因为f(x)≤f(－y)，所以x≤－y，即x＋y≤0，选B.

6．[2015·大连高三双基测试]已知f(x)＝x＋xln  x，若k∈Z，且k(x－2)<f(x)对任意x>2恒成立，则k的最大值为(  )

A．3   B．4

C．5   D．6

答案 B

解析 考虑直线y＝k(x－2)与曲线y＝f(x)相切时的情形，设切点为(m，f(m))，此时m－2(f(m)－0)＝f′(m)，即m－2(m＋mln m)＝2＋ln m，化简得m－4－2ln m＝0，设g(m)＝m－4－2ln m，因为g(e²)＝e²－8<0，g(e³)＝e³－10>0，所以e²<m<e³，所以切线斜率2＋ln  m的取值范围为(4,5)，所以整数k的最大值为4.

二、填空题

7.[2015·九江一模]已知F₁、F₂分别是双曲线3x²－y²＝3a²(a>0)的左、右焦点，P是抛物线y²＝8ax与双曲线的一个交点，若|PF₁|＋|PF₂|＝12，则抛物线的准线方程为________．

答案 x＝－2

解析 将双曲线方程化为标准方程得a2(x2)－3a2(y2)＝1，∴其焦点坐标为(±2a,0)，(2a,0)与抛物线的焦点重合，联立抛物线与双曲线方程得y2＝8ax(＝1)⇒x＝3a，而由|PF1|－|PF2|＝2a(|PF1|＋|PF2|＝12)⇒|PF₂|＝6－a，∴|PF₂|＝3a＋2a＝6－a，得a＝1，∴抛物线的方程为y²＝8x，其准线方程为x＝－2.

8.已知函数f(x)满足f(x－1)＝－f(－x＋1)，且当x≤0时，f(x)＝x³，若对任意的x∈[t，t＋2]，不等式f(x＋t)≥2f(x)恒成立，则实数t的取值范围是________．

答案 [，＋∞)

解析 因为函数f(x)满足f(x－1)＝－f(－x＋1)，即f(x)＝－f(－x)，所以函数f(x)关于原点对称，是奇函数．因为当x≤0时，f(x)＝x³，所以f(x)＝x³(x∈R)，故f(x)在R上单调递增．f(x＋t)≥2f(x)＝2x³＝(x)³＝f(x)恒成立等价于x＋t≥x，即t≥(－1)x恒成立，又x∈[t，t＋2]，所以t≥(－1)(t＋2)，即t≥2(2－2)，即t≥.

9.设函数f(x)＝|a－x|，x>0(x2＋bx＋2，x≤0).若两条平行直线6x＋8y＋a＝0与3x＋by＋11＝0之间的距离为a，则函数g(x)＝f(x)－ln  (x＋2)的零点个数为________．

答案 4

解析 由题意知a>0，则由6x＋8y＋a＝0与3x＋by＋11＝0平行，得b≠0，3(6)＝b(8)，所以b＝4.而直线6x＋8y＋a＝0可化为3x＋4y＋2(a)＝0，则由题意，得2()＝a，解得a＝2，则函数f(x)＝|2－x|，x>0(x2＋4x＋2，x≤0).

令g(x)＝f(x)－ln  (x＋2)＝0，即f(x)＝ln  (x＋2)，作出函数y＝f(x)与y＝ln  (x＋2)的图象如图所示．由图象易知，y＝f(x)与y＝ln (x＋2)的图象有4个交点，所以g(x)的零点个数为4.

三、解答题

10.[2015·兰州高三诊断考]在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知cosA(a)＝sinC(c).

(1)求A的大小；

(2)若a＝6，求b＋c的取值范围．

解 (1)∵cosA(a)＝sinC(c)＝sinA(a)，

∴cosA＝sinA，∴tanA＝，

∵0<A<π，∴A＝3(π).

(2)∵sinA(a)＝sinB(b)＝sinC(c)＝3(π)＝4，

∴b＝4sinB，c＝4sinC，

∴b＋c＝4sinB＋4sinC＝4[sinB＋sin(π－A－B)]＝4＋B(π)＝12sin6(π)，

∵6(π)<B＋6(π)<6(5π)，∴6<12sin6(π)≤12，

即：b＋c∈(6,12].

11.[2015·石家庄一模]在平面直角坐标系xOy中，一动圆经过点，0(1)且与直线x＝－2(1)相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线E.

(1)求曲线E的方程；

(2)设P是曲线E上的动点，点B、C在y轴上，△PBC的内切圆的方程为(x－1)²＋y²＝1，求△PBC面积的最小值．

解 (1)由题意可知圆心到，0(1)的距离等于到直线x＝－2(1)的距离，由抛物线的定义可知，曲线E的方程为y²＝2x.

(2)解法一：设P(x₀，y₀)，B(0，b)，C(0，c)，

直线PB的方程为：(y₀－b)x－x₀y＋x₀b＝0，

又圆心(1,0)到PB的距离为1，

所以0(2)＝1，

整理得：(x₀－2)b²＋2y₀b－x₀＝0，

同理可得：(x₀－2)c²＋2y₀c－x₀＝0，

所以b，c是方程(x₀－2)x²＋2y₀x－x₀＝0的两根，

所以b＋c＝x0－2(－2y0)，bc＝x0－2(－x0)，依题意bc<0，即x₀>2，

则(b－c)²＝(x0－2)2(－8x0)，

因为y0(2)＝2x₀，所以|b－c|＝x0－2(2x0)，

所以S＝2(1)|b－c||x₀|＝(x₀－2)＋x0－2(4)＋4≥8，

当x₀＝4时上式取得等号，

所以△PBC面积的最小值为8.

解法二：设P(x₀，y₀)，直线PB：y－y₀＝k(x－x₀)，由题知PB与圆(x－1)²＋y²＝1相切，则

k2＋1(|k＋y0－kx0|)＝1，整理得：

(x0(2)－2x₀)k²＋2(1－x₀)y₀k＋y0(2)－1＝0，

k₁＋k₂＝－－2x0(2)，k₁k₂＝－2x0(2)，

依题意x₀>2，

则|y_B－y_C|＝|(y₀－k₁x₀)－(y₀－k₂x₀)|＝|k₁－k₂|x₀，

又|k₁－k₂|＝|x0－2|(2)，则|y_B－y_C|＝x0－2(2x0)，

所以S＝2(1)|y_B－y_C||x₀|＝(x₀－2)＋x0－2(4)＋4≥8，当x₀＝4时上式取得等号，

所以△PBC面积的最小值为8.