2017届高考理科数学二轮复习训练：1-6-2 排列、组合与二项式定理（参考解析）

一、选择题

1．[2015·洛阳统考](x＋1)(x－2)⁶的展开式中x⁴的系数为(  )

A．－100   B．－15

C．35   D．220

答案 A

解析 由二项式定理可得，(x－2)⁶展开式的通项T_r＋1＝C6(r)(－2)^rx^6－r，∴x³的系数为C6(3)(－2)³＝－160，x⁴的系数为C6(2)(－2)²＝60，∴(x＋1)(x－2)⁶的展开式中x⁴的系数为－160＋60＝－100.

2．[2015·郑州质量预测(二)]某校开设A类选修课2门，B类选修课3门，一位同学从中选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有(  )

A．3种   B．6种

C．9种   D．18种

答案 C

解析 由题知有2门A类选修课，3门B类选修课，从里边选出3门的选法有C5(3)＝10种．两类课程都有的对立事件是选了3门B类选修课，这种情况只有1种．满足题意的选法有10－1＝9种．所以选C.

3．[2015·唐山一模]－2(1)³展开式中的常数项为(  )

A．－8   B．－12

C．－20   D．20

答案 C

解析 ∵－2(1)³＝x(1)⁶，∴T_r＋1＝C6(r)x^6－r·x(1)^r＝C6(r)(－1)^rx^6－2r，令6－2r＝0，得r＝3，∴常数项为C6(3)(－1)³＝－20.

4．[2015·陕西质检(二)]若足球比赛的计分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，则一个队打了14场比赛共得19分的情况种数为(  )

A．4   B．5

C．6   D．7

答案 A

解析 设胜的场数为x，平的场数为y，负的场数为z，则3x＋y＝19(x＋y＋z＝14)，两式相减得2x－z＝5.当z＝1时，x＝3，y＝10；当z＝3时，x＝4，y＝7；当z＝5时，x＝5，y＝4；当z＝7时，x＝6，y＝1.故选A.

5．[2015·江西八校联考]若(1＋x)(1－2x)⁷＝a₀＋a₁x＋a₂x²＋…＋a₈x⁸，则a₁＋a₂＋…＋a₇的值是(  )

A．－2   B．－3

C．125   D．－131

答案 C

解析 令x＝1，则a₀＋a₁＋a₂＋…＋a₈＝－2.又∵(1－2x)⁷展开式中第r＋1项T_r＋1＝C7(r)(－1)^r2^rx^r，a₀＝C7(0)(－1)⁰2⁰＝1，a₈＝C7(7)(－1)⁷2⁷＝－128，

∴a₁＋a₂＋…＋a₇＝125.

6．[2015·南昌一模]给出下列命题：

①若(1－x)⁵＝a₀＋a₁x＋a₂x²＋a₃x³＋a₄x⁴＋a₅x⁵，则|a₁|＋|a₂|＋|a₃|＋|a₄|＋|a₅|＝32；

②α，β，γ是三个不同的平面，则“γ⊥α，γ⊥β”是“α∥β”的充分条件；

③已知sin6(π)＝3(1)，则cos－2θ(π)＝9(7).

其中正确命题的个数为(  )

A．0   B．1

C．2   D．3

答案 B

解析 对于①，由(1－x)⁵＝a₀＋a₁x＋a₂x²＋a₃x³＋a₄x⁴＋a₅x⁵得a₁<0，a₂>0，a₃<0，a₄>0，a₅<0，

取x＝－1，得a₀－a₁＋a₂－a₃＋a₄－a₅＝(1＋1)⁵＝2⁵，再取x＝0得a₀＝(1－0)⁵＝1，所以|a₁|＋|a₂|＋|a₃|＋|a₄|＋|a₅|＝－a₁＋a₂－a₃＋a₄－a₅＝31，即①不正确；

对于②，如图所示的正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，平面ABB₁A₁⊥平面ABCD，平面ADD₁A₁⊥平面ABCD，但平面ABB₁A₁与平面ADD₁A₁不平行，所以②不正确；

对于③，因为sin6(π)＝3(1)，所以cos－2θ(π)＝cos3(π)＝cos6(π)＝1－2sin²6(π)＝1－2×3(1)²＝9(7)，所以③正确．

7．[2015·西安八校联考]三名男生和三名女生站成一排，若男生甲不站在两端，任意两名女生都不相邻，则不同的排法种数是(  )

A．120   B．96

C．84   D．36

答案 A

解析 依题意，得不同的排法种数是A3(3)A4(3)－2A2(2)A3(3)＝120，故选A.

8．[2015·唐山统考]4名大学生到三家企业应聘，每名大学生至多被一家企业录用，则每家企业至少录用一名大学生的情况有(  )

A．24种  B．36种

C．48种  D．60种

答案 D

解析 每家企业至少录用一名大学生的情况有两种：一种是一家企业录用一名，有C4(3)A3(3)＝24种；一种是其中有一家企业录用2名大学生，有C4(2)A3(3)＝36种，∴一共有24＋36＝60种，故选D.

二、填空题

9．[2015·大连一模]x(1)⁶的展开式中常数项为________．

答案 60

解析 由题意可知常数项为C6(4)(2x)²x(1)⁴＝60.

10．[2015·陕西质检(三)]若(2x－1)⁵＝a₅x⁵＋a₄x⁴＋a₃x³＋a₂x²＋a₁x＋a₀对x∈R均成立，则a₂＋a₄＝________.

答案 －120

解析 T_r＋1＝C5(r)(2x)^5－r(－1)^r＝C5(r)2^5－r(－1)^rx^5－r，

∴a₄＝C5(1)2⁴(－1)¹＝－80，a₂＝C5(3)2²(－1)³＝－40，∴a₂＋a₄＝－120.

11．已知二项式x(1)ⁿ的展开式的二项式系数之和为32，则展开式中含x项的系数是________．

答案 10

解析 由2ⁿ＝32得n＝5，T_r＋1＝C5(r)(x²)^5－rx(1)^r＝C5(r)x^10－3r，令10－3r＝1得r＝3，故含x项的系数为C5(3)＝10.

12．[2015·辽宁五校联考]在一次游戏中，三个人采用击鼓传花的方式决定最后的表演者．三个人互相传递，每人每次只能传一下，由甲开始传，经过五次传递后，花又被传回给甲，则不同的传递方式有________种(用数字作答)．

答案 10

解析 设这三人为甲、乙、丙，列举可知前四次的传递结果为：(乙，丙，甲，乙)，(乙，丙，甲，丙)，(乙，丙，乙，丙)，(乙，甲，乙，丙)，(乙，甲，丙，乙)，(丙，甲，乙，丙)，(丙，甲，丙，乙)，(丙，乙，甲，乙)，(丙，乙，甲，丙)，(丙，乙，丙，乙)，共10种．

13．[2015·石家庄一模]将甲、乙、丙、丁四名学生分到两个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同的分法的种数为________(用数字作答)．

答案 8

解析 甲、乙不能分在同一个班，则不同的分组有甲单独一组，只有1种；甲和丙或丁两人一组，有2种；甲、丙、丁一组，也是1种．然后再把这两组分到不同班级里，则共有(1＋2＋1)A2(2)＝8种分法．

14．[2015·湖北八校联考(二)]设数列{a_n}共有n项(n≥3，n∈N^*)，且a₁＝a_n＝1，对于每个i(1≤i≤n－1，n∈N^*)均有ai(ai＋1)∈，1，3(1).

(1)当n＝3时，满足条件的所有数列{a_n}的个数为________；

(2)当n＝10时，满足条件的所有数列{a_n}的个数为________．

答案 (1)3 (2)3139

解析 (1)当n＝3时，因为a1(a2)∈，1，3(1)，a2(a3)∈，1，3(1)，所以a₂∈，1，3(1)，a2(1)∈，1，3(1)，所以a₂＝3(1)或a₂＝1或a₂＝3，所以满足条件的所有数列{a_n}的个数为3个；

(2)令b_i＝ai(ai＋1)(1≤i≤9)，则对每个符合条件的数列{a_n}满足条件b₁b₂…b₉＝a1(a2)·a2(a3)…a9(a10)＝a1(a10)＝1，则b_i∈，1，3(1)

反之符合上述条件的9项数列{b_n}，可唯一确定一个符合条件的10项数列{a_n}

记符合条件的数列{b_n}的个数为N，

显然b_i(1≤i≤9)中有k个3，k个3(1)，9－2k个1

当k给定时，{b_n}的取法有C9(k)C9－k(k)种，易得k的可能值为0,1,2,3,4，

故N＝1＋C9(1)C8(1)＋C9(2)C7(2)＋C9(3)C6(3)＋C9(4)C5(4)＝3139.

所以满足条件的所有数列{a_n}的个数为3139个．